Почему возникает солнечная и лунная дорожка на воде?

Когда солнце садится низко над рекой, по воде до самого берега тянется яркая дорожка. То же бывает безоблачной ночью при полной луне. Отойдите вдоль берега — и она сдвинется следом.

Гладкая вода дала бы одно отражение: небольшой диск солнца. Но реку покрывает рябь, и каждая волна — крошечное наклонённое зеркальце. Из миллионов случайных наклонов часть оказывается повёрнута ровно так, чтобы отправить луч именно вам в глаз. Вдоль линии «солнце — вы» таких наклонов больше всего, по бокам меньше — отсюда узкая полоса.

Что сделать. Пройдите двадцать шагов вдоль берега и проследите за дорожкой: она пойдёт за вами. Потом сравните её ширину в штиль и при ветре — чем сильнее рябь, тем шире полоса. По этой ширине океанографы со спутника определяют скорость ветра.

Что делает каждая волна. Зеркало отбрасывает луч строго по закону отражения: угол падения равен углу отражения. Чтобы луч долетел до вашего глаза, волна должна быть наклонена вполне определённым образом — её нормаль обязана делить пополам угол между направлением на солнце и направлением на вас.

Из миллионов случайно наклонённых волн часть оказывается наклонена именно так. Они и вспыхивают бликами. Остальные отбрасывают свет куда угодно: в небо, в берег, в сторону.

Почему полоса тянется к наблюдателю. Проведите мысленно по воде прямую от точки под солнцем к точке под вашими ногами. Вдоль этой линии нужный наклон грани мал для всех дальних точек. Для далёкой точки он равен $\tan(\gamma/2)$, где $\gamma$ — высота солнца над горизонтом: при $\gamma = 5°$ это всего 2,5°, и такие наклоны есть у большинства волн. Сдвинем точку в сторону, и нужный наклон быстро растёт. При $\gamma = 10°$ боковой наклон грани в 10° сдвигает блик по азимуту только на $\tan 10° \cdot 10° \approx 1{,}8°$. Нужных наклонов вдоль линии много, а в стороны мало, поэтому светящаяся область вытянута вдоль линии и узка поперёк.

1. каждая волна — зеркальце под своим углом
2. в глаз попадают только «правильно» наклонённые
3. полоса тянется к наблюдателю: наклоны ближе — круче

Чем спокойнее вода, тем уже дорожка: на зеркальной поверхности она превращается в одно пятно. Чем сильнее рябь, тем шире и размытее полоса.

Как это называется. В оптике это зеркальное отражение от шероховатой поверхности. Воду описывают как множество мелких граней со случайным распределением наклонов, а саму полосу — солнечной или лунной дорожкой.

Тот же приём в других местах. Мокрый ночной асфальт перед фарами разгорается длинной полосой, оставаясь тёмным по сторонам, — по той же причине. Снег под низким зимним солнцем блестит миллиардами ледяных граней. В компьютерной графике воду, металл и мокрую дорогу рисуют той же моделью множества маленьких зеркал.

Ширина дорожки — это ветер. Кокс и Манк в 1954 году сфотографировали солнечный блик на океане с самолёта и связали разброс наклонов волн со скоростью ветра. Средний квадрат наклона поверхности растёт с ветром линейно:

$$\sigma^{2}=0{,}003+5{,}12\cdot10^{-3}\,U$$

эмпирика

Здесь U — скорость ветра в метрах в секунду на высоте мачты, около 12,5 метра. Иначе говоря, при свежем ветре 5 м/с получается σ² ≈ 0,029, то есть σ ≈ 0,17: типичный наклон волны около 10 градусов. Ширина дорожки зависит ещё и от высоты солнца $\gamma$. Отражение удваивает наклон грани только в плоскости «солнце — наблюдатель». Чтобы сдвинуть блик в сторону на угол $\theta$, грань должна наклониться вбок на $\theta / \tan\gamma$: боковой наклон $s$ сдвигает блик по азимуту на $s\tan\gamma$ (проверено прямым расчётом отражения: нормаль грани делит пополам угол между направлениями на солнце и на наблюдателя), и чем ниже солнце, тем больше нужен боковой наклон. Поэтому среднеквадратичная ширина дорожки по азимуту равна $\sigma_c \tan\gamma$, где $\sigma_c = \sqrt{0{,}003 + 1{,}92\cdot10^{-3}\,U}$ — поперечный наклон (при 5 м/с около 6,4°). Ширина на половине яркости ($2{,}355\,\sigma_c\tan\gamma$) при ветре 5 м/с: около 1,3° при солнце на высоте 5°, 2,7° при 10°, 5,5° при 20° и 15° при 45°. Дорожка шириной около 20° получается при солнце на высоте около 50°, а на закате она в разы уже.

Отсюда и обратный ход, ради которого работу и делали: по форме блика на спутниковом снимке восстанавливают поле ветра над океаном там, где нет ни одного судна.

Что значит свободный член. Свободный член 0,003 меньше погрешности подгонки (±0,004)¹, поэтому в штиле формулу надо читать как «близко к нулю», а не как найденный физический остаток. Возможный вклад зыби и течений авторы формулы не доказывали.

Границы этой модели.

• Каждая грань считается идеальным зеркалом. Часть света уходит под воду и возвращается рассеянным — у мутной воды дорожка заметно бледнее, чем предсказывает расчёт.
• Многократные отражения не учтены. При крутой волне луч успевает отразиться от соседнего склона, и таких путей модель не знает.
• Затенение при низком солнце. Когда светило почти на горизонте, гребни закрывают впадины, и часть подходящих граней просто не освещена. Расчёт без учёта затенения завышает яркость краёв дорожки.
• Плёнки гасят рябь. Масляная или биогенная плёнка сглаживает самые мелкие волны — дорожка сужается при том же ветре. На этом, кстати, основано спутниковое обнаружение разливов.
• Формула эмпирическая. Она получена по фотографиям Тихого океана при ветрах примерно до 14 м/с; за этим диапазоном её экстраполируют, а не проверяют.

О чём спорят. Коэффициенты Кокса и Манка пересматривают до сих пор. По спутниковым измерениям инфракрасного зондировщика IASI наклоны получаются систематически иными, чем по фотографиям 1954 года, и расхождение относят то к разнице в диапазоне длин волн, то к устойчивости приземного слоя воздуха, то к плёнкам. Единой замены классической формуле пока нет: её продолжают использовать именно потому, что все конкурирующие версии расходятся между собой сильнее, чем с ней².

Открытый вопрос. По одному снимку блика нельзя разделить вклад мелкой ветровой ряби и крупной зыби: разные комбинации дают одну и ту же дорожку. Это та же неустойчивая обратная задача, что и восстановление профиля атмосферы по миражу, — и решают её, добавляя измерения на других длинах волн, а не улучшая формулу.