Как физика управляет игрой с мячом?

Мяч для гольфа покрыт ямками: их от двухсот пятидесяти до четырёхсот пятидесяти, радиус и глубина стандартизованы. Всякий другой снаряд, который нужно отправить далеко, полируют. Здесь поверхность портят намеренно, и мяч от этого летит втрое с лишним дальше гладкого шара того же размера и веса. Рядом футбол: к каждому чемпионату мира делают новый мяч, и вратари всякий раз жалуются. Размер и масса те же, отличаются только швы. Значит, спрашивать надо так: почему воздух настолько подробно отзывается на то, что происходит у самой поверхности — на ямки глубиной в доли миллиметра и на форму швов?

Кажется, сопротивление — это воздух, который приходится расталкивать впереди. Основная его часть рождается сзади. Поверхность мяча увлекает тонкий слой воздуха — пограничный слой; в какой-то точке он отходит от мяча, и за линией отрыва остаётся область обратного тока с вихрями, как за кормой лодки. Давление там ниже, чем спереди, и мяч тянет назад. Чем шире область отрыва, тем больше сопротивление. Вопрос «как далеко полетит мяч» сводится к вопросу «где именно оторвётся слой», и решается он в миллиметре воздуха у поверхности.

Что сделать. Бросьте один и тот же теннисный мяч без закрутки и с сильной подкруткой назад. Второй летит заметно дальше и дольше «висит»: вращение работает подъёмной силой.

Два режима слоя. Пограничный слой живёт в двух режимах. Ламинарный идёт слоями, не перемешиваясь. Турбулентный перемешан поперёк, и это перемешивание всё время подтаскивает к поверхности быстрый воздух снаружи. Энергии у турбулентного слоя у стенки больше, он дольше сопротивляется торможению и держится за мяч, отрываясь заметно ближе к задней точке. Область отрыва сужается, и сопротивление резко падает — коэффициент сопротивления гладкого шара сваливается примерно с 0,5 до 0,1, в пять раз. Любая неровность на поверхности взбалтывает слой и переводит его в турбулентный режим раньше, на меньшей скорости. Гладкий шар размером с мяч для гольфа дошёл бы до перелома при скорости около ста метров в секунду и выше; клюшка столько не даёт. Мяч с ямками проходит границу около двадцати метров в секунду, а драйвер отправляет его со скоростью порядка семидесяти. Но одно снижение сопротивления втрое дальности не даёт: при скорости 70 м/с и угле 11° мяч без воздуха пролетел бы 187 м, а при коэффициенте сопротивления 0,5 (без подъёмной силы) пролетает около 94 м, то есть даже нулевое сопротивление удвоило бы дальность. Чтобы выиграть втрое, нужна ещё подъёмная сила подкрутки, о ней ниже.

1. сопротивление рождается сзади — в ширине следа
2. поток →
3. гладкий: слой отрывается рано, след широкий
4. с ямками: слой держится дольше, след узкий

Предположения, стоящие за картиной:

1. Сопротивление определяется положением точки отрыва, а не «лобовым» расталкиванием воздуха.
2. Режим слоя переключается скачком при определённой скорости, и неровность поверхности сдвигает этот порог вниз.
3. Мяч летит быстрее порога: ниже него ямки бесполезны и даже вредны.

Футбол. У футбольного мяча ту же работу делают швы: перелом сдвигается примерно к пятнадцати метрам в секунду. Сильный штрафной уходит с ноги около тридцати — в режиме малого сопротивления. Замедляясь, мяч возвращается через границу обратно, сопротивление скачком вырастает в несколько раз, и мяч резко теряет ход и ныряет. Это удар, который перелетает стенку и падает под перекладину.

Что добавляет вращение. Вращающийся мяч тащит пограничный слой за собой: с одной стороны увлечённый воздух складывается со встречным потоком, с другой вычитается. Где поток быстрее, давление ниже, и мяч уводит в эту сторону; сила перпендикулярна и оси вращения, и скорости. Отклонение закрученного мяча заметил ещё Ньютон, глядя на теннис в Кембридже. Подкрутка назад даёт подъёмную силу: драйвер закручивает мяч на полсотни оборотов в секунду, и он всплывает над расчётной параболой. Закрутка вокруг вертикальной оси уводит вбок — удар, огибающий стенку.

Проверьте сами. Бросьте вперёд лёгкий гладкий мяч, закрутив его вокруг вертикальной оси. По сказанному он должен уйти в одну сторону — а уходит в другую. Наденьте на мяч по диаметру резиновую ленту и повторите: теперь отклонение идёт куда положено. Причина в том, что стороны мяча проходят перелом режима не одновременно: у стороны, идущей по потоку, суммарная скорость обтекания меньше, и она возвращается в ламинарный режим раньше; какое-то время один бок обтекается турбулентно, другой ламинарно, и сила меняет знак. Знак задаёт бок, идущий против потока: слой на нём первым становится турбулентным, дольше держится за поверхность и отрывается дальше по ходу, поток там быстрее, давление ниже, и мяч уводит в эту сторону — против обычного Магнуса¹. Такой разворот силы наблюдали при числах Рейнольдса примерно от 125 до 450 тысяч²; для мяча диаметром 21 см это скорости от 9 до 32 м/с.

Как это называют. Тонкий слой, увлекаемый поверхностью, — пограничный слой; место его ухода — точка отрыва; скачок сопротивления при переходе в турбулентность — кризис сопротивления; безразмерная величина, по которой его отсчитывают, — число Рейнольдса. Боковая сила от вращения — сила Магнуса, по имени Генриха Магнуса, разбиравшегося в середине XIX века с отклонением снарядов; случай, когда она меняет знак, — обратный эффект Магнуса. Труднее всего предсказать сильный удар почти без вращения: швы стоят относительно потока неподвижно, вихри срываются с разных сторон вразнобой, и мяч болтает. В Бразилии такую траекторию называют «голубь без крыла». Продувка показала, что у мяча чемпионата 2010 года, «Джабулани», перелом наступал на самой малой скорости из проверенных, а колебания сил были наибольшими: претензии вратарей оказались измеримыми.

Тот же принцип в других местах. На крыльях самолётов стоят вихрегенераторы — ряды пластинок под углом к потоку: они намеренно взбалтывают слой, чтобы тот дольше держался на крыле при больших углах атаки. Шершавая кожа акулы и швы на крикетном мяче — из того же ряда. А корабельный корпус, наоборот, полируют: у большого судна слой на корпусе и так почти весь турбулентен (число Рейнольдса порядка миллиарда: 10 м/с × 100 м / $10^{-6}$ м²/с), заметная часть сопротивления приходится на трение, и оно растёт от шероховатости³.

Число, которое всё решает. Режим обтекания задаёт не скорость сама по себе, а безразмерное сочетание

$$\mathrm{Re} = \frac{v\,d}{\nu}$$

модель

где $v$ — скорость, $d$ — диаметр, $\nu \approx 1{,}5\cdot10^{-5}$ м²/с — кинематическая вязкость воздуха. Иначе говоря, вдвое больший мяч при вдвое меньшей скорости обтекается так же. Гладкий шар переживает кризис сопротивления около $\mathrm{Re} \approx 3\cdot10^{5}$: для гольфа ($d = 43$ мм) это скорость от ста метров в секунду и выше — в зависимости от гладкости и спокойствия воздуха порог доходит до двухсот; ямки опускают порог до $\mathrm{Re} \approx 5\cdot10^{4}$, то есть до ~20 м/с. Футбольный мяч ($d = 22$ см) без швов перешёл бы порог при ~20 м/с, со швами — при ~15. Сила сопротивления

$$F = \tfrac12\,C_d\,\rho\,A\,v^{2}$$

модель

где $\rho$ — плотность воздуха, $A$ — площадь сечения мяча, а $C_d$ — коэффициент сопротивления, от 0,5 до 0,1 в зависимости от режима. Иначе говоря, при одной и той же скорости мяч по разные стороны кризиса тормозится в четыре-пять раз по-разному. Отсюда «нырок» штрафного: мяч, теряя ход, переходит границу назад, и $C_d$ подскакивает.

Кто открыл. Что вязкость и размер входят в задачу одним числом, показал Осборн Рейнольдс в 1883 году, пуская подкрашенную струйку в стеклянной трубе и наблюдая, при каком расходе она начинает клубиться. Понятие пограничного слоя ввёл Людвиг Прандтль в 1904 году в десятиминутном докладе в Гейдельберге, и вся аэродинамика XX века выросла из него. Что гладкая сфера в определённом диапазоне скоростей внезапно теряет три четверти сопротивления, обнаружил Гюстав Эйфель в 1912 году в своей аэродинамической трубе — он сначала решил, что ошибся. А подъёмную силу вращающегося тела вывел Николай Жуковский в 1906 году: его теорема связывает силу с циркуляцией потока вокруг тела и одинаково описывает крыло, закрученный цилиндр и мяч¹.

Джабулани в трубе. Мячи чемпионатов мира продували в Японии и США: у «Джабулани» 2010 года с восемью термосклеенными панелями кризис наступал на меньшей скорости, чем у любого другого проверенного мяча, а у «Бразуки» 2014 года с шестью панелями и более длинным общим швом — ближе к традиционному 32-панельному мячу, и боковые силы при слабом вращении оказались заметно меньше. Вратари 2014 года жаловались меньше, и это — измеримое следствие одного лишнего метра шва².

Границы этого рассуждения.

• Кризис — не точка, а полоса. Переход растянут по скорости, и в полосе поведение мяча наименее предсказуемо.
• Число Рейнольдса не всё. Шероховатость, вращение и турбулентность набегающего потока сдвигают порог; два мяча с одним Re летят по-разному.
• Сила Магнуса меняет знак только у гладких мячей и только вблизи кризиса; для футбольного мяча в игровом диапазоне она обычная.
• Формулы — для стационарного обтекания. Мяч в полёте тормозится, и режим меняется на лету; траекторию считают только численно.

О чём спорят. Почему у мяча с сотнями ямок оптимум именно 300–400 и именно такой глубины? Производители подбирают форму ямок продувкой и опытом, теория даёт лишь общую тенденцию, и разные группы, моделируя один и тот же мяч, получают разное сопротивление. Прямое численное решение уравнений для мяча с ямками стало возможным только в 2010-х, и результаты пока расходятся с продувкой на проценты — а проценты дальности решают турнир².

Открытый вопрос. Куда полетит мяч без вращения? Вихри за ним срываются хаотически, и два одинаковых удара дают разные траектории. Предсказать этот «трепет» из первых принципов нельзя, потому что он — турбулентность, задача, не решённая со времён Рейнольдса.