Почему с высоты видно дальше?

1. выше глаз — дальше горизонт
2. луч зрения касается поверхности здесь
3. радиус ⟂ лучу зрения
4. дальше поверхность уходит под луч

Почему с балкона девятого этажа видно дальше, чем со двора, а с самолёта — дальше, чем с балкона? Земля — шарообразная, и её поверхность изгибается. Чем выше глаз наблюдателя, тем больше удалённых её участков остаётся в пределах прямой видимости; всё, что лежит дальше, скрыто за выпуклостью шара.

Эта граница видимости и называется горизонтом. Со ста семнадцати метров над окружающей равниной она проходит примерно в 38 километрах от точки наблюдения — именно это, геометрически идеальное, расстояние выгравировано на шкале топоскопа. В живом воздухе видно немного дальше, около 42 километров; откуда берётся прибавка — на уровне «Глубже».

Откуда берётся 38 километров

Сначала представим Землю как идеальный шар, а наблюдение — как геометрически «чистую» задачу: никакие препятствия, атмосфера или искажения света не мешают, а видимость определяется только формой поверхности.

Геометрия задачи. Наблюдатель находится на высоте $h$ над поверхностью. Самая дальняя видимая точка лежит там, где поверхность Земли «уходит из-под взгляда» — то есть в точке касания. Соединим три точки: центр Земли, точку касания и точку наблюдателя. Получается треугольник со сторонами $R$, $d$ и $R + h$. Радиус всегда перпендикулярен касательной — значит, треугольник прямоугольный, и прямой угол приходится на точку касания.

Расчёт. По теореме Пифагора

$$ d^2 = (R + h)^2 - R^2 = 2Rh + h^2. $$

модель

При $h$ порядка сотен метров и $R = 6371$ км слагаемое $h^2$ на много порядков меньше произведения $2Rh$, и им можно пренебречь. После подстановки радиуса и приведения единиц остаётся удобная формула (здесь $d$ в километрах, $h$ в метрах):

$$ d \approx 3{,}57\,\sqrt{h}. $$

оценка порядка

При $h = 117$ м (высота точки наблюдения над окружающей равниной, на которой расположен Приют №5) она даёт $d \approx 38{,}6$ км.

Поправка на воздух. В реальности видимость заметно превышает геометрическую: эмпирический коэффициент ближе к 3,86, и те же 117 метров дают уже около 42 километров.¹ Воздух у поверхности плотнее, чем в верхних слоях; показатель преломления плавно убывает с высотой, и горизонтальный световой луч в таком градиенте слабо искривляется вниз. Геометрически это означает, что луч огибает не реальную Землю, а воображаемый шар большего радиуса. Эффект называется атмосферной рефракцией и меняется с температурой и давлением воздуха.

Где работает та же формула. Через $\sqrt{2Rh}$ рассчитывают радиогоризонт антенн связи и радиолокаторов, дальность видимости огней маяков с моря, расстояние, на котором с борта самолёта на крейсерской высоте десять километров земная поверхность ещё различима — около 360 километров.

Если смотреть не на землю, а на предмет высотой $h_2$, горизонты складываются: предмет виден, пока он не дальше $d \approx 3{,}57\,(\sqrt{h_1}+\sqrt{h_2})$ километров¹. Огонь маяка высотой 50 м виден с палубы (глаз на 5 м) на расстоянии $3{,}57\,(7{,}07+2{,}24) \approx 33$ км, хотя сам горизонт с палубы лежит всего в 8 км.

Можно ли измерить угол на небе, не имея при себе никакого прибора? Можно. Кулак вытянутой руки закрывает примерно десять градусов небесной сферы; пропорции тела устроены так, что это соотношение у разных людей почти одинаковое.

Что делать. Найдите Полярную звезду над северной частью горизонта. Поставьте основание кулака на линию горизонта; поднимите второй кулак над первым, третий — над вторым, и так далее, пока не дойдёте до самой звезды. Число кулаков в столбце, умноженное на десять градусов, и есть высота Полярной над горизонтом — она же широта места:

$$ \varphi \approx 10^\circ \times N. $$

оценка порядка

На этой широте в столбце помещается ровно пять с половиной кулаков, $N = 5{,}5$, и формула даёт $\varphi \approx 55^\circ$ — широту Иннополиса.

Что это число означает. Оно совпадает с географической широтой места наблюдения, и совпадение не случайно: высота Полярной над горизонтом и широта наблюдателя — один и тот же угол, измеренный двумя разными способами. Разбор угла — в разделе «Глубже».

Метод позволяет определить широту любой точки в северном полушарии без приборов и карт; им пользовались мореплаватели за столетия до появления секстанта.

Тот же треугольник, повёрнутый

Прямоугольный треугольник с радиусом Земли и касательной к её поверхности описывал расстояние до горизонта. Тот же треугольник, повёрнутый и наложенный на ночное небо, объясняет, почему высота Полярной звезды над горизонтом совпадает с географической широтой места.

1. к Полярной: она так далеко, что обе линии параллельны
2. ось Земли
3. наблюдатель
4. у центра φ — широта: угол между экватором и радиусом к наблюдателю
5. горизонт наблюдателя
6. у наблюдателя φ — высота Полярной над горизонтом
7. экватор
8. стороны углов попарно перпендикулярны, поэтому углы равны

Что такое широта. Географическая широта $\varphi$ — это угол между плоскостью земного экватора и направлением из центра Земли в точку стояния наблюдателя.

Что такое направление на Полярную. Ось вращения Земли указывает почти точно на Полярную звезду. Расстояние до неё больше радиуса Земли в сотни миллиардов раз, поэтому направление на Полярную из любой точки поверхности можно считать параллельным земной оси.

Геометрия совпадения. Местная вертикаль в точке наблюдения совпадает с радиусом, проведённым из центра Земли в эту точку. Угол между местной вертикалью и направлением на Полярную равен, следовательно, углу между земной осью и тем же радиусом, то есть $90^\circ - \varphi$. Высота Полярной над горизонтом по определению равна $90^\circ$ за вычетом её углового отклонения от вертикали, и в итоге даёт $\varphi$. Строго это верно для самого полюса мира; Полярная стоит от него примерно в 0,7°, поэтому прямое чтение её высоты как широты ошибается не больше чем на эти 0,7°¹.

Одна геометрия — две задачи навигации. Прямоугольный треугольник с радиусом Земли и касательной к её поверхности решает обе задачи определения положения по широте: днём по высоте наблюдателя над равниной он даёт расстояние до горизонта, ночью по высоте Полярной над линией горизонта — географическую широту.

Так определяется только одна из двух координат. Вторая, долгота, требует одновременного знания местного и опорного времени и потому веками оставалась нерешённой задачей мореплавания. Её решили в XVIII веке морским хронометром Гаррисона — об этом за QR.

Почему реально видно дальше. Видимость в спокойной атмосфере примерно на восемь процентов превышает чисто геометрическую оценку. Причина — атмосферная рефракция. Воздух у поверхности Земли плотнее, чем в верхних слоях; показатель преломления с высотой плавно убывает, и горизонтальный световой луч в таком градиенте слабо искривляется вниз. Геометрически это эквивалентно тому, что свет распространяется вдоль не реальной Земли, а воображаемого шара большего радиуса. В стандартной модели атмосферы этот эффективный радиус оценивают как

$$ R' = \tfrac{7}{6}\,R, $$

модель

и предел видимости растёт в $\sqrt{7/6} \approx 1{,}08$ раза — отсюда коэффициент около 3,86 вместо геометрических 3,57. Откуда берётся 7/6: луч в такой атмосфере изгибается примерно в семь раз слабее, чем кривизна Земли (так называемая постоянная рефракции около 1/7), поэтому $1/R' = 1/R - 1/(7R) = 6/(7R)$, то есть $R' = \tfrac{7}{6}R$¹.

Когда поправка перестаёт быть малой. В обычных условиях, когда температура воздуха плавно убывает с высотой, рефракция близка к стандартной — те самые восемь процентов добавки к геометрической дальности. Картина меняется при температурной инверсии: если у поверхности лежит слой холодного воздуха, а над ним — более тёплый, градиент плотности усиливается и сильнее загибает горизонтальный луч вниз. Иногда настолько, что наблюдатель видит над горизонтом предметы, уже скрытые за ним геометрически. В навигационной литературе это явление называют верхним миражом, или «поднятыми кораблями».

На Луне, у которой атмосферы практически нет, рефракционной поправки тоже нет; видимое расстояние до горизонта совпадает с чисто геометрическим. Но сам коэффициент уже другой: радиус Луны около 1737 км, и формула $\sqrt{2Rh}$ даёт $d \approx 1{,}86\,\sqrt{h}$. С высоты человеческого роста — возьмём глаз на $h = 1{,}6$ м — горизонт на Земле лежит примерно в 4,5 километра ($3{,}57\,\sqrt{1{,}6}$), а на Луне всего в 2,4 километра ($1{,}86\,\sqrt{1{,}6}$): вдвое ближе. Геометрия та же, радиус меньше.

Коэффициент $k \propto \sqrt{R}$, поэтому их отношение $3{,}57 / 1{,}86 \approx 1{,}9$ совпадает с корнем из отношения радиусов $\sqrt{6371/1737} \approx 1{,}9$: всё расстояние до горизонта определяет один радиус планеты.²

Где расчёт горизонта требует поправок

• Рефракция. Атмосфера преломляет луч и загибает его вслед за кривизной Земли, поэтому видно дальше, чем даёт чистая геометрия. Поправку вводят множителем: вместо радиуса Земли в формулу подставляют эффективный радиус, равный $\tfrac{7}{6}R$, то есть в 1,17 раза больший. Дальность горизонта из-за этого вырастает на 8 % — для наблюдателя на высоте 117 метров это лишние чуть больше трёх километров.
• Рефракция непостоянна. Она зависит от распределения температуры по высоте. При температурной инверсии — холодный воздух у поверхности, тёплый выше — луч загибается сильнее, и из-за горизонта «поднимаются» объекты, которых там быть не должно; это и есть верхний мираж, знаменитая Фата-моргана. В жаркий день над нагретой поверхностью картина обратная, горизонт приближается.
• Волна и рельеф. Формула считает Землю гладким шаром. Морская волна высотой в метр уже закрывает низкие объекты вблизи линии горизонта, а на суше геометрический горизонт почти всегда перекрыт рельефом и растительностью и практического смысла не имеет.

Сколько это в числах Расстояние до горизонта растёт как корень из высоты глаза: с двух метров — 5 км, с двадцати — 16 км, с высоты 117-метровой башни — 38,6 км, а с борта самолёта на 10 километрах — 357 км. Отсюда правило морской практики: чтобы увидеть дальше вдвое, подниматься надо вчетверо выше. По этой же причине сигнальные огни ставили на башнях: выигрыш в дальности стоит дешевле, чем выигрыш в яркости.

Что из этого следует для наблюдений Для астрономии важна не столько дальность горизонта, сколько то, как рефракция искажает высоту светила. У горизонта она поднимает изображение примерно на 35 угловых минут — чуть больше видимого диаметра Солнца. Практическое следствие: в момент, когда нижний край Солнца кажется коснувшимся горизонта, геометрически оно уже целиком под ним. Все измерения высоты светила у горизонта требуют поправки, и таблицы такой поправки — обязательная часть навигационных пособий.

О чём спорят наблюдатели Величина рефракции у самого горизонта — предмет давних расхождений. Стандартная таблица даёт 35 угловых минут, но фактическое значение зависит от температуры воды и воздуха и в отдельных случаях отличается вдвое; в полярных широтах наблюдали подъём объектов на градус и более. Спорят о том, можно ли вообще пользоваться единой средней поправкой или для точных измерений нужно каждый раз оценивать состояние атмосферы. Практический вывод для наблюдателя один: у самого горизонта доверять измерению высоты светила не стоит, и мореходные таблицы честно оговаривают, что ниже 5–10° над горизонтом точность резко падает.

Тот же треугольник измеряет всю планету

Те же элементы — шар радиуса $R$, радиус, проведённый в точку наблюдения, и касательная к шару — на стенде уже дали две координаты: расстояние до горизонта днём и широту по Полярной ночью. Но из той же геометрии добывается и величина самого шара. Если в двух точках одного меридиана одновременно измерить угол между местной вертикалью и направлением на одну звезду (или на полуденное Солнце), разность этих углов равна угловому расстоянию между точками, видимому из центра планеты. Зная расстояние между точками по земле, получаете длину всего меридиана — а с ней и радиус Земли.

Как это сделали впервые. Около 240 года до нашей эры Эратосфен Киренский заметил, что в день летнего солнцестояния в Сиене (современный Асуан) полуденное Солнце стоит в зените и освещает дно глубоких колодцев. В Александрии, севернее и почти на том же меридиане, в тот же час Солнце отклонялось от вертикали на угол, который Эратосфен измерил по тени гномона: около $7^\circ 12'$, или одна пятидесятая полной окружности. Расстояние между городами по караванным путям составляло около 5000 стадиев, поэтому окружность выходила в пятьдесят раз больше — 250 000 стадиев. В километрах результат зависит от длины стадия, а она известна неоднозначно: при стадии около 157,5 м (внутри диапазона 155–160 м, который называют историки) выходит 39 375 км, на 1,7 % меньше современных 40 075 км; при стадии 184,8 м — 46 200 км, на 15 % больше. К тому же Сиена лежит примерно на 3° долготы восточнее Александрии и менее чем на градус севернее тропика. Надёжна идея метода, а не процент ошибки.³

1. лучи Солнца приходят параллельно
2. Сиена: Солнце в зените, в колодце нет тени
3. ≈ 800 км
4. угол тени в Александрии равен углу между радиусами к двум городам: 7,2° — это 1/50 окружности, значит, окружность Земли ≈ 50 × 800 км ≈ 40 000 км
5. Александрия: палка даёт тень
6. углы на рисунке преувеличены

Что наука уточняет до сих пор

Геоид вместо шара. Сегодня ту же координату — положение точки — снимают по сигналам спутниковых группировок (GPS, ГЛОНАСС, Galileo, BeiDou) с точностью от метров до единиц миллиметров для опорных пунктов. И чем точнее измеряют, тем яснее: Земля — не шар. Реальная её фигура отличается и от математического шара, и от эллипсоида вращения. Усреднённое представление о её форме называют геоидом: это поверхность постоянного потенциала силы тяжести, совпадающая со средним уровнем океанов в отсутствие приливов, ветров и течений. Геоид отклоняется от опорного эллипсоида на десятки метров — вверх над избытками массы (горные системы, плотные блоки коры) и вниз над дефицитами (океанические впадины, разрежённые области мантии). Карту этих отклонений строят по измерениям спутниковых миссий GRACE и GOCE, регистрирующих микроскопические возмущения собственного орбитального движения. Обратная задача — однозначная реконструкция распределения масс в недрах Земли по гравитационному полю на её поверхности — математически некорректна и остаётся одним из активных направлений геофизики.

И сама опора непостоянна. Полярная звезда занимает положение вблизи северного полюса мира лишь временно. Земная ось совершает прецессию — медленно описывает в пространстве конус с угловым радиусом около $23{,}5^\circ$ и периодом примерно 25 800 лет, под действием лунно-солнечного притяжения к экваториальному вздутию планеты.⁴ В эпоху пирамид Гизы (около 2700 года до нашей эры) полярной звездой была Тубан в созвездии Дракона; через несколько тысячелетий её место займёт Альраи (γ Цефея), а позже — Денеб и Вега.⁵ Так что приём со стенда — широта по Полярной — верен не навсегда: само совпадение оси вращения с яркой звездой северного неба, на котором держится эта навигация, в исторических масштабах оказывается скорее исключением, чем правилом.