Куда девается энергия солнца и ветра?

Потолок у неба. Почему энергии всегда меньше, чем кажется. Закройте ладонью солнечную панель — пропеллер за ней останавливается. Уберите — закрутился снова. Теперь посмотрите на ряд вертушек: сейчас крутится одна маленькая, но если подует сильнее — закрутятся все пять. Переход случится не плавно: небольшое усиление ветра резко меняет картину.

Что сделать. Накройте солнечный модуль красным фильтром — пропеллер замедлится. Посмотрите на вертушки и посчитайте, сколько крутится сейчас. Куда девается энергия, которую мы не забрали? Для панели сразу в тепло. Для ветряка сначала остаётся в самом ветре: воздух за ротором ещё движется, и лишь потом турбулентность в следе превращает это движение в тепло.

Солнечная панель превращает свет в ток, пока на неё падают фотоны. Вертушка превращает движение воздуха в ток, пока дует ветер. В обоих случаях установка отбирает часть энергии у потока, идущего мимо. Отобрать можно не всё — и причина не в качестве сборки, а в том, как устроен сам процесс отбора.

Кремний. В кремнии электроны сидят в одной «комнате», и чтобы стать током, им нужно перепрыгнуть в другую. Между комнатами — порог около 1,1 электронвольта. Фотоны слабее порога не работают: их энергия не достаёт до следующей комнаты, они проходят сквозь кремний впустую. Фотоны сильнее порога выбивают электрон, но излишек их энергии тоже уходит в тепло. Поэтому для солнечного спектра есть предел: кремниевая панель принципиально не может преобразовать больше примерно 32% падающей энергии. Это предел Шокли — Квайссера, рассчитанный в 1961 году¹.

Ветер. Мощность ветра — это куб скорости: удвойте скорость, и мощность вырастет не в 2, а в 8 раз. Формула $P = \tfrac12 \rho A v^{3}$ выводится из одной размерности: ватты — это кг·м²/с³, и единственная комбинация плотности $\rho$, площади $A$ и скорости $v$ с такой размерностью — именно $\rho A v^{3}$ (множитель ½ размерность не даёт, он из кинетической энергии). Но забрать всю мощность нельзя: если ротор остановит воздух полностью, новому воздуху некуда деваться. Чтобы ветер продолжал идти, часть скорости надо оставить. Из закона сохранения импульса Альберт Бец в 1919 году вывел точный потолок: не больше 59,3% энергии потока, никогда.

1. ветер: в роторе выгоднее всего замедлить на треть
2. свет: спектр Солнца по энергии фотона
3. щель кремния 1,1 эВ
4. излишек энергии — в тепло, ≈ 33 %
5. в ток: ≈ 48 %
6. слабее щели — не работают, ≈ 19 %
7. энергия фотона, эВ
8. иначе воздуху некуда деваться — предел Беца 59 %
9. из этих 48 % прочие потери оставляют ≈ 32 %: предел Шокли — Квайссера

Странное совпадение: ветер — это тоже Солнце. Солнце неравномерно греет Землю, от этого воздух движется. Дрова — это Солнце, накопленное деревом за 50 лет. Нефть — Солнце, копившееся миллионы лет в водорослях. Вся доступная нам энергия на Земле, кроме ядерной и недр, — одна звезда в разных обличьях. Мы просто ловим её на разных этапах пути, и у каждого этапа свой потолок.

Почему нельзя просто покрыть всю Россию солнечными панелями. Предел Шокли — Квайссера — это расчёт по спектру Солнца у поверхности Земли и запрещённой зоне кремния 1,12 эВ. Около 19% энергии спектра несут фотоны со слишком малой энергией — они не преобразуются вовсе. Ещё около 33% — избыток энергии фотонов над щелью, неизбежно уходящий в тепло. Из оставшихся ~48% ещё около 16 процентных пунктов теряется оттого, что элемент сам излучает (излучательная рекомбинация) и рабочее напряжение на нём ниже ширины щели. Излучение здесь неизбежно: любое тело, поглощающее свет, обязано и излучать (это следствие детального равновесия с окружением). Часть возбуждённых электронов возвращается назад, испуская фотон, и этот обратный ток растёт с напряжением на элементе, поэтому максимум мощности достигается при напряжении заметно ниже ширины щели. Остаётся теоретический максимум около 32%¹. Реальные коммерческие панели дают 18–22%. Обойти сам предел можно, только уйдя от одной щели: многослойные элементы в лаборатории дают до 39,5% при обычном солнце и 47,6% под светом, сконцентрированным в сотни раз².

Отдельный слой — сезонность и геометрия. Зимой в средних широтах солнца падает в 4–5 раз меньше, чем летом; ночью — ноль; ветер в среднем даёт 20–30% номинала за год. Поэтому ответ на вопрос про Россию физический, а не экономический: даже полное покрытие панелями не снимет ни ограничений технологии, ни ограничений оси вращения Земли.

Предел Беца выводится из баланса скоростей до и после ротора: если обозначить отношение скорости далеко за ротором к скорости до него как a, отбираемая доля максимальна при a = 1/3 и равна 16/27 ≈ 0,593.

Вывод в три шага. Скорость в плоскости ротора равна среднему из скоростей до и за ним: $v_р = \tfrac{1}{2}v(1+a)$ (так следует из сохранения импульса). Мощность отбора равна расходу воздуха через ротор, умноженному на потерю кинетической энергии единицы массы: $P = \rho A v_р \cdot \tfrac12 v^{2}(1-a^{2})$. Деля на мощность ветра $\tfrac12\rho A v^{3}$, получаем долю $\tfrac12(1+a)(1-a^{2})$. Она максимальна при $1-2a-3a^{2}=0$, то есть при $a=1/3$, и равна $16/27$. Словами: затормозите воздух слишком слабо — мало отберёте; слишком сильно — воздух перестанет уходить, и поток обойдёт ротор стороной. Современные большие ветрогенераторы достигают 45–50%.

Как это выглядит, можно проверить в модели идеального ротора: двигайте торможение ветра и смотрите, как меняется отобранная доля.

Границы этих пределов

• Предел Беца — для свободного потока. Ротор в трубе или в кожухе, ускоряющем воздух, может взять больше 59 % от того, что прошло бы через тот же круг без него; для ветряка в чистом поле обхода нет.
• Предел Шокли — Квайссера — для одного перехода. Он считает один полупроводник с одной щелью при одном солнце; концентраторы и многослойные элементы его обходят, но каждый слой стоит своих денег.
• Оба предела — про долю, а не про количество. Панель в 20 % на крыше в Татарстане даёт за год примерно вдвое меньше, чем такая же в пустыне, — не из-за предела, а из-за облаков и широты⁴.
• Сезон и ночь пределом не считаются. Зимняя темнота, ночь и безветрие — ограничения оси вращения Земли и погоды, а не физики преобразования.

О чём спорят Насколько близко к пределу Беца можно подойти на практике: лучшие турбины дают 45–50 %, и часть потерь — закрутка потока и конечное число лопастей — неустранима; одни инженеры считают 59 % достижимым ориентиром, другие — границей, к которой нельзя подойти ближе чем на десять процентных пунктов. У солнечных элементов спор другой: гнаться ли за многослойными элементами, где рекорд под концентрированным светом 47,6 %, или дешевле ставить вдвое больше обычных панелей, — и ответ зависит от цены земли, а не от физики³.

Открытый вопрос. Предел Беца выведен для идеального ротора — без трения, без закручивания потока, без конечного числа лопастей. Он следует из законов сохранения массы и импульса, а не из термодинамики. Термодинамика даёт для солнечного света куда более высокий потолок: при температуре Солнца около 6000 К и элемента при 300 К КПД не может превышать $1-\tfrac43\tfrac{T_a}{T_s}+\tfrac13\left(\tfrac{T_a}{T_s}\right)^{4}\approx 93\,\%$ (предел Ландсберга) — почти втрое больше 32 % Шокли — Квайссера. Почему реальные пределы лежат так низко и есть ли у них общая основа, остаётся открытым.