Июльский ливень уходит за лес, солнце выходит из-за облака. Встаньте удачно — солнце за спиной, дождь впереди — и над полем повиснет дуга. Сдвиньтесь на десять шагов, и она сдвинется тоже.
Радуга не висит в небе: у неё нет места, есть только угол. Красный свет приходит с капель, отстоящих на 42 градуса от точки прямо напротив солнца — то есть от тени вашей головы. У соседа тень головы в другом месте, и центр его радуги другой. Каждый видит свою.
Что сделать. Найдите на земле тень своей головы и мысленно проведите от неё линию к радуге. Угол между этой линией и направлением на дугу — те самые 42 градуса. Проверить можно кулаком на вытянутой руке: он закрывает около десяти градусов, значит, от тени головы до дуги укладывается чуть больше четырёх кулаков.
Что происходит в одной капле. Пока капля невелика, поверхностное натяжение собирает её в почти идеальный шар. Луч солнца, входя внутрь, на границе воздух — вода отклоняется: свет в воде идёт медленнее, чем в воздухе, и потому меняет направление. Это преломление.
Существенно вот что: разные цвета преломляются неодинаково. Синий тормозит в воде сильнее красного и отклоняется круче. Белый пучок, попав в каплю, разворачивается веером. На задней стенке веер не выходит наружу — он отражается от внутренней поверхности, но лишь частично: на задней стенке луч падает под углом около 40° и отражается примерно 6 % света (полного отражения нет, оно началось бы с 48,7°). Поэтому радуга бледная, а вторая дуга, где свет отражается дважды, ещё слабее. Отражённая часть снова идёт сквозь каплю и выходит со стороны наблюдателя, преломившись ещё раз и разойдясь шире прежнего.
Откуда берётся дуга. Из всего веера в глаз попадает только узкий конус. Почему именно конус: лучи, вошедшие в разные точки капли, выходят под разными углами, но у этой зависимости есть предел — отклонение не бывает меньше 137,6° для красного света. Вблизи предела угол почти не меняется при сдвиге точки входа, поэтому множество лучей уходит почти параллельно и складывается в яркий пучок. Остальные лучи расходятся веером и слабее. Под углом больше 42° от антисолнечной точки света, прошедшего одно отражение, вообще нет, отсюда резкий внешний край дуги. Красный приходит с капель, лежащих под углом около 42 градусов от антисолнечной точки, фиолетовый — примерно с 41. Все капли, попавшие в нужное кольцо, для наблюдателя светятся нужным цветом. Отсюда и форма: дуга окружности с центром в тени смотрящего.
Иногда выше первой проступает вторая, бледнее. Это свет, отразившийся внутри капель дважды: угол около 51 градуса, порядок цветов перевёрнут.
Где работает тот же принцип. Разделение света по длине волны называют дисперсией. Её обнаружил Ньютон в 1666 году, пропустив солнечный луч через призму. Полтора века спустя Фраунгофер заметил в спектре тёмные линии — отпечатки химических элементов в атмосфере Солнца, и у астрономии появился способ узнавать состав звёзд, не прикасаясь к ним.
Похожая геометрия видна в зимнем гало вокруг солнца или луны: там вместо капель шестиугольные ледяные кристаллы, и угол получается около 22 градусов. У пилота над облаком бывает глория — цветное кольцо вокруг тени самолёта. А радужные блики на компакт-диске и мыльной плёнке возникают по другой причине: там цвет разделяет интерференция, а не преломление.
Откуда берётся именно 42 градуса. Угол отклонения луча в капле зависит от того, куда именно он вошёл. Существенно, что у этой зависимости есть минимум: вблизи него отклонение почти не меняется при сдвиге точки входа, и лучи выходят пучком. Туда и уходит почти весь свет.
$$D(i)=2(i-r)+(\pi-2r),\qquad \sin i=n\sin r$$
модель
Иначе говоря, полное отклонение складывается из двух преломлений и одного внутреннего отражения, а связь углов входа и преломления даёт закон Снеллиуса. Для показателя преломления воды 1,331 в красном свете минимум приходится на отклонение 137,6 градуса, то есть 42,4 градуса от антисолнечной точки; для фиолетового с показателем 1,343 — 40,7 градуса. Сам минимум находится из условия $dD/di=0$, которое сводится к $\cos^{2} i = (n^{2}-1)/3$. Для $n=1{,}331$ получаем $i\approx 59{,}5^\circ$, $r\approx 40{,}4^\circ$ и $D\approx 137{,}6^\circ$.
Отсюда же и вторая дуга: при двух внутренних отражениях в условии минимума вместо 3 стоит 8, минимум сдвигается, и красный край ложится примерно на 51 градус, фиолетовый уходит к 54.
Тёмная полоса между дугами. Между 42 и 51 градусом ни однократное, ни двукратное отражение света не даёт — это полоса Александра, названная по описанию Александра Афродисийского около 200 года. Небо там заметно темнее, чем внутри первой дуги: разница видна на любой хорошей фотографии радуги.
Границы геометрической оптики. Луч как линия объясняет углы и цвета — и не объясняет всего остального.
О чём спорят. Точный расчёт яркости и цвета радуги требует не геометрии, а полного решения задачи рассеяния на шаре — теории Ми. Она даёт ответ, но не даёт понимания: из её рядов не видно, откуда берётся угол 42 градуса. Как правильно сшивать наглядную геометрическую картину с точным волновым расчётом, обсуждают до сих пор; разные приближения дают заметно расходящиеся оценки для капель среднего размера, где не работает ни лучевая, ни асимптотическая волновая теория.
Открытый вопрос. По форме и яркости радуги пытаются восстанавливать распределение капель по размерам в дожде — задача обратная и неустойчивая, но привлекательная: она превращает любую фотографию радуги в измерение осадков. Тот же приём предлагали применить к атмосфере Венеры, где по «радуге» из капель серной кислоты оценивают их размер.
Airy G. B. On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Trans. Camb. Phil. Soc. 6, 1838 — волновая теория избыточных дуг. ↩
Научно-популярный туризм